Числовые фигуры из гороха

Рассматривая элементы египетской головоломки (треугольные грани и прямоугольные детали), мы вплотную приближаемся к очень красивой математической теме, поднятой еще древними греками. Объяснить, что я имею в виду, будет лучше всего на примере.

Числовые фигуры

Предположим, что волею судеб в нашем распоряжении оказались пакетики со строго отсчитанным количеством маленьких предметов — горошинок или чего-то подобного:
Их предстоит раскладывать на плоскости. Я приготовила для этой цели листы картона, а чтоб горошинки не «убегали», покрыла картон тонким слоем пластилина (само по себе уже неплохое упражнение для пальчиков):
Если вы не собираетесь переворачивать поделку вниз головой, можно использовать в качестве фона просто бархатную бумагу. Древние греки, кстати, пользовались в таких случаях мелкими камешками на песчаном пляже и вообще обожали заниматься науками на свежем воздухе.

Наши «камешки» надо разложить так, чтобы они образовали прямоугольник с четко выраженными рядами по длине и ширине. Посмотрим, как совершенно по-разному решается эта задача для выбранных мною четырех чисел-соседей.
Число 22 укладывается в прямоугольник одним-единственным образом. Семена ириса (мой любимый счетный материал) образовали 2 рядка по 11 семечек. Или, что то же самое, 11 рядов по 2 семечка. Древние греки назвали бы это число ПРЯМОУГОЛЬНЫМ.
Зеленые горошинки, коих у меня 25, тоже ложатся одним-единственным образом — но на этот раз в квадрат. Мы и сейчас называем 25 КВАДРАТОМ числа 5. Можно сказать, что это КВАДРАТНОЕ число.
24 желтых чечевички нас могут очень порадовать. Если вы не остановитесь на одном достигнутом варианте и продолжите экспериментировать, то скоро убедитесь, что 24 предмета раскладываются в прямоугольник несколькими способами: в 2, 3, 4, 6, 8 и даже 12 рядов. Добиться одного-единственного варианта раскладки можно, но, увы, не на плоскости, а в пространстве. И не в простом, а в четырехмерном. Пусть пока это число тоже будет ПРЯМОУГОЛЬНЫМ.
А вот 23 оранжевых чечевички нас очень сильно озадачат: никакой прямоугольник не складывается из них. Их остается только выложить в линеечку. Можно, конечно, считать, что эта линия есть прямоугольник с шириной в одну чечевичку, как мы это делали в «египетской» задаче. Но этот вариант считается неспортивным: ведь в линию можно уложить абсолютно любое число предметов, и потеряется сам смысл поиска каких-то особенных чисел. И потому 23 и ему подобных числа в наших «древнегреческих» построениях можно назвать ЛИНЕЙНЫМИ (современные математики называют такие числа ПРОСТЫМИ).

Но это еще не все. Кроме прямоугольников, можно укладывать горошинки и в другие фигуры. Например, в равносторонние треугольники. Треугольник растет и расширяется с добавлением новых рядов горошин, а мы получаем ряд ТРЕУГОЛЬНЫХ чисел: 3, 6, 10, 15 и т.д.:
Интересную закономерность подарят нам и КВАДРАТНЫЕ числа. Сколько горошин нам приходится добавлять, чтоб достроить квадрат до бОльшего?
Для наглядности я «разверну» рядочки, уложив горошины из квадратов в линии. Оп-па, вот это фокус: да это же ряд нечетных чисел! Отсюда следует, что любая сумма последовательных нечетных чисел (с единички, разумеется, начиная) просто так, за здорово живешь, обязательно даст нам квадратное число!